数や行列のように演算を持った集合を一般に「代数系」と呼びます。代数学とは代数系の学問であるとも言えます。
数に関する様々な問題を扱う「整数論」や、図形を「環」と呼ばれる代数系と結びつけて調べる「代数幾何学」等は代数学の代表的なテーマです。代数系は自然科学の諸分野においても、周期性や対称性を記述する概念として広く活躍しています。代数系のこうした側面に注目した研究は「表現論」と呼ばれます。
０と１だけからなる代数系もあります。上の表が何を意味するか分かりますか？この単純で奇妙な代数系は、当時１９歳の天才数学者ガロアによって代数方程式に関する深い定理と結びつけられました。１９世紀に誕生したこの「ガロア理論」は、今日でも最も美しい数学理論の一つとされています。また、整数論や代数幾何学の最先端の結果を動員して近年やっと証明された「フェルマーの最終定理」は、３５０年もの間未解決の予想でした。
代数学には時代を越えて色褪せない数学の美しさと奥深さが詰まっています。
幾何学・大域解析学は、我々の住む空間の概念を拡張した「曲がった空間」を研究対象とします。位相数学は、自由に伸び縮みできる柔らかい世界の幾何学です。空間数理科学はこのように幾何的な対象を、代数学、解析学などの道具を駆使して研究する分野です。例えば地球はほぼ丸い球であり、球面の２点を結ぶ最短線は大円（球の中心を通る平面で球面を切ったときにできる円）ですから、日本からヨーロッパへ飛ぶのに北極回りになるわけですが、正確に言うと地球は赤道部分が膨らんだ「楕円面」という形をしており、そこでの最短線は、もはや平面で切った曲線ではありません。それではどういう曲線が最短線なのでしょうか？
また例えば、針金で輪を作って石鹸水に浸けると膜ができます。この輪を少し捻ってやると、石鹸膜はどんな形になるでしょう。そしてさらにひどく捻っても石鹸膜はできるのか？この分野ではこんな問題の答えを追求します。上の絵は、この石鹸膜と「同じ種類」の曲面で、極小曲面と呼ばれています(3D-XplorMath による）。
世の中の刻一刻と変化する様々な現象を理解する際に、強力な数学的道具となってきたのが微分方程式と呼ばれる未知関数とその導関数の関係式として書かれている方程式です。
例えば波、光、電磁気、流体の運動、熱の拡散現象、シマウマの縞模様や貝殻の模様などを記述するには、時間変数と空間変数を独立変数とする偏微分方程式というものが必要となり、この解析のために微分積分を発展させたルベーグ積分論、フーリエ解析、関数解析、超関数論などの解析学の新しい分野が生み出されて来ました。またブラウン運動などのランダムなノイズが入った微分方程式は、伊藤清博士により確率微分方程式の理論として定式化されました。この理論は偏微分方程式の解析にも新たな視点を与え、現在では数学の他分野だけでなく金融工学を始めとした様々な応用分野でも盛んに用いられています。
このように、解析・汎用数理科学は微分方程式で記述された数理現象を解析学、確率論などの道具を駆使して研究する分野です。